上海中考数学压轴题专项练习

已知条件：

\[ \begin{aligned} l_1&: y = 2x + 2 \\[4pt] l_1 &\cap x\text{ 轴} \to A,\qquad l_1 \cap y\text{ 轴} \to B \\[4pt] l_2 &\perp l_1,\qquad B \in l_2 \\[4pt] P(t, 0)&,\; t > 0 \\[4pt] Q(x_Q, 0)& \text{ 在 }x\text{ 轴上（第(3)问）} \end{aligned} \]

关键公式：

\[ k_1 \cdot k_2 = -1 \;\Longleftrightarrow\; l_1 \perp l_2 \]

\[ A(-1,0),\; B(0,2),\; P(t,0) \;\Longrightarrow\; AP = t + 1,\quad \text{高} = 2 \]

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拿到这道题，先问自己三个问题：

1. 两条直线垂直给了我什么？ \(l_1\) 的斜率 \(k_1 = 2\)，则 \(l_2\) 的斜率 \(k_2 = -\frac{1}{2}\)（因为 \(2 \times (-\frac{1}{2}) = -1\)）。垂直条件是八年级一次函数章节的核心考点——知道一条直线就能推出另一条。
2. 面积怎么求最方便？ 三角形的三个顶点中，\(A\) 和 \(P\) 都在 \(x\) 轴上——这意味着 \(AP\) 是一条水平线段！以 \(AP\) 为底，高就是点 \(B\) 的纵坐标 \(2\)。不需要用复杂的坐标面积公式，直接 \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)。
3. 等腰三角形怎么穷举？ 固定了 \(A\) 和 \(B\)，\(Q\) 在 \(x\) 轴上移动。\(\triangle ABQ\) 的三边是 \(AB\)、\(AQ\)、\(BQ\)，分别两两相等有三种情况。每种情况列出方程→求解→用 \(x_Q\) 写出 \(Q\) 的坐标。别忘了验证 \(Q\) 不与已有顶点重合。

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基础题 1： 直线 \(y = kx + b\) 经过点 \((0, 2)\) 且与直线 \(y = 2x + 1\) 垂直，求 \(k\) 和 \(b\)。

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垂直条件：\(k \times 2 = -1\)，故 \(k = -\frac{1}{2}\)。过 \((0, 2)\)：\(b = 2\)。解析式为 \(y = -\frac{1}{2}x + 2\)。

基础题 2： 已知 \(A(-1, 0)\)、\(B(0, 2)\)、\(P(5, 0)\)，求线段 \(AP\) 的长和 \(\triangle ABP\) 的面积。

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\(AP = |5 - (-1)| = 6\)。以 \(AP\) 为底，点 \(B\) 到 \(x\) 轴距离 \(= 2\) 为高。\(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6\)。

基础题 3： 已知两点 \(M(0, m)\)、\(N(0, n)\) 都在 \(y\) 轴上，且 \(MN = 3\)。若 \(m > n\)，求 \(m\) 与 \(n\) 的关系及可能的坐标。

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都在 \(y\) 轴上，横坐标均为 \(0\)。\(MN = |m - n| = m - n = 3\)。若另给条件（如其中一个到原点距离为 \(1\)），可具体求解。

基础题 4： 解方程 \((q + 1)^2 = 5\)。

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\(q + 1 = \pm\sqrt{5}\)，故 \(q = -1 + \sqrt{5}\) 或 \(q = -1 - \sqrt{5}\)。

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第一层（面对题目不知从何入手）：

先把两个交点求出来——\(l_1\) 与坐标轴的交点直接用 \(x=0\) 和 \(y=0\) 代入。然后 \(l_2\) 过 \(B\) 且与 \(l_1\) 垂直，垂直条件就是 \(k_1 \cdot k_2 = -1\)。有了 \(k_2\) 和一点 \(B\)，解析式就出来了。

第二层（第(2)问有困难——面积不会写）：

画图！\(A(-1,0)\) 和 \(P(t,0)\) 都在 \(x\) 轴上。这两个点连成的线段 \(AP\) 就是三角形的一条边，而且是水平的。水平边的长度就是 \(t - (-1) = t + 1\)。三角形的高呢？就是点 \(B(0,2)\) 到 \(x\) 轴的竖直距离——恰好是 \(2\)。面积 = \(\frac{1}{2} \times (t+1) \times 2 = t + 1\)。

第三层（第(3)问有困难——等腰条件不会列）：

先算出 \(AB\) 的长度（两点间距离公式）。设 \(Q(q, 0)\)，写出 \(AQ\) 和 \(BQ\) 的长度表达式（含 \(q\)）。等腰有三种可能：

• \(AB = AQ\) → 方程解出 \(q\)
• \(AB = BQ\) → 方程解出 \(q\)
• \(AQ = BQ\) → 方程解出 \(q\)

每解出一个 \(q\)，检查 \(Q\) 是否与 \(A\) 或 \(B\) 重合（重合则三角形退化，舍去）。

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(1) 求点 \(A\)、点 \(B\) 的坐标，以及 \(l_2\) 的解析式

求 \(A\)： 令 \(l_1\) 中 \(y = 0\)：

\[ 0 = 2x + 2 \;\Longrightarrow\; x = -1 \;\Longrightarrow\; \boxed{A(-1, 0)} \]

求 \(B\)： 令 \(l_1\) 中 \(x = 0\)：

\[ y = 2 \times 0 + 2 = 2 \;\Longrightarrow\; \boxed{B(0, 2)} \]

求 \(l_2\)： \(l_2 \perp l_1\) 且 \(k_1 = 2\)。

\[ k_1 \cdot k_2 = -1 \;\Longrightarrow\; k_2 = -\frac{1}{2} \]

\(l_2\) 过 \(B(0, 2)\)，故 \(l_2\) 的 \(y\) 截距 \(b = 2\)。

\[ \boxed{l_2: y = -\frac{1}{2}x + 2} \]

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(2) \(\triangle ABP\) 的面积 \(S\) 及 \(S = 12\) 时 \(P\) 的坐标

(i) 求 \(S\)： \(A(-1, 0)\)、\(P(t, 0)\) 均在 \(x\) 轴上。

\[ AP = t - (-1) = t + 1 \]

以 \(AP\) 为底，高为点 \(B\) 到 \(x\) 轴的距离 \(= 2\)。

\[ \boxed{S = \frac{1}{2} \times AP \times 2 = \frac{1}{2}(t + 1) \times 2 = t + 1} \]

函数简洁有力——面积恰好等于 \(t + 1\)，每向右移动 \(1\) 个单位，面积增加 \(1\)。

(ii) 求 \(S = 12\)：

\[ t + 1 = 12 \;\Longrightarrow\; t = 11 \]

\[ \boxed{P(11, 0)} \]

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(3) 在 \(x\) 轴上是否存在点 \(Q\) 使 \(\triangle ABQ\) 是等腰三角形？

设 \(Q(q, 0)\)。先算三边长度：

\[ \begin{aligned} AB &= \sqrt{(-1-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \\[4pt] AQ &= |q - (-1)| = |q + 1| \\[4pt] BQ &= \sqrt{(q-0)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{q^2 + 4} \end{aligned} \]

情况一：\(AB = AQ\)

\[ |q + 1| = \sqrt{5} \;\Longrightarrow\; q + 1 = \pm\sqrt{5} \]

\[ q = -1 + \sqrt{5} \quad\text{或}\quad q = -1 - \sqrt{5} \]

两个值均不与 \(A(-1,0)\) 重合（因为 \(\sqrt{5} \neq 0\)）。

\[ \boxed{Q_1(-1+\sqrt{5},\; 0),\qquad Q_2(-1-\sqrt{5},\; 0)} \]

情况二：\(AB = BQ\)

\[ \sqrt{q^2 + 4} = \sqrt{5} \;\Longrightarrow\; q^2 + 4 = 5 \;\Longrightarrow\; q^2 = 1 \;\Longrightarrow\; q = \pm 1 \]

\(q = 1\)：\(Q(1, 0)\)，不与 \(A\) 或 \(B\) 重合 ✓

\(q = -1\)：\(Q(-1, 0) = A\)，三角形退化，舍去。

\[ \boxed{Q_3(1,\; 0)} \]

情况三：\(AQ = BQ\)

\[ |q + 1| = \sqrt{q^2 + 4} \]

平方（两边均非负）：

\[ (q + 1)^2 = q^2 + 4 \]

\[ q^2 + 2q + 1 = q^2 + 4 \]

\[ 2q = 3 \;\Longrightarrow\; q = \frac{3}{2} \]

验证：\(q = \frac{3}{2}\) 时 \(Q\) 不与 \(A\)、\(B\) 重合 ✓。

\[ \boxed{Q_4\left(\frac{3}{2},\; 0\right)} \]

总结： 存在 4 个 满足条件的点 \(Q\)：

\[ \boxed{(-1+\sqrt{5}, 0),\;\; (-1-\sqrt{5}, 0),\;\; (1, 0),\;\; \left(\frac{3}{2}, 0\right)} \]

四种情况分别对应：\(Q_1, Q_2\) 满足 \(AQ = AB\)（左右各一个）；\(Q_3\) 满足 \(BQ = AB\)（恰好在 \(B\) 正下方）；\(Q_4\) 满足 \(AQ = BQ\)（\(AB\) 的垂直平分线与 \(x\) 轴的交点）。

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易错点	正确理解
求 \(l_2\) 斜率时写反了倒数关系	\(k_2 = -\frac{1}{k_1}\)，不是 \(\frac{1}{k_1}\) 也不是 \(-k_1\)。勿忘负号
面积用坐标公式强行计算	\(A\) 和 \(P\) 都在 \(x\) 轴上，\(AP\) 是水平线段——直接用底×高÷2，不需要坐标行列式
第(3)问漏掉情况	\(AB=AQ\)、\(AB=BQ\)、\(AQ=BQ\) 三种，每种方程解出的所有 \(q\) 都要保留（除非退化）
\(Q = A\) 未排除	\(q = -1\) 时 \(Q\) 与 \(A\) 重合，\(\triangle ABQ\) 退化为线段，必须舍去
求 \(AP\) 长度时用 \(t-1\)	\(A\) 的横坐标是 \(-1\)，不是 \(1\)。\(AP = t - (-1) = t + 1\)
\(BQ\) 距离公式漏掉 \(y\) 坐标差	\(B(0,2)\)、\(Q(q,0)\)，纵坐标差是 \(2\)，不是 \(0\)

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1. 垂直条件的即时转化：看到"垂直"→立刻 \(k_1 \cdot k_2 = -1\)。这个条件在八年级一次函数章节中是高频考点，必须形成条件反射。
2. 坐标系中"选底"的意识：当三角形的两个顶点在 \(x\) 轴（或 \(y\) 轴）上时，选这条水平（或竖直）边为底，高就是第三个顶点到该轴的距离。这是坐标系中简化面积计算的通用技巧。
3. 等腰三角形的完整穷举：不是先判断"哪种情况合理"再去列方程，而是三种情况全部列出方程→求解→筛选。完整分类才是严谨。
4. 距离公式与代数方程的衔接：\(|q+1| = \sqrt{q^2+4}\) 这种"含绝对值和根号"的方程，平方后 \(q^2\) 自动抵消变成一次方程——这是几何条件转化为代数方程后的常见简化。
5. 退化解的识别与排除：\(Q = A\) 时三角形面积为 \(0\)，虽然满足某组边相等，但不是有效的三角形。这类"数学上合逻辑但几何上无意义"的解需要主动排除。

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变式 1（改变直线）：

若 \(l_1\) 改为 \(y = 3x - 3\)，其余条件不变。求 \(l_2\) 的解析式及等腰点 \(Q\) 的坐标。

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\(A(1,0)\)，\(B(0,-3)\)。\(k_2 = -\frac{1}{3}\)，\(l_2: y = -\frac{1}{3}x - 3\)。\(AB = \sqrt{10}\)。设 \(Q(q,0)\)。

\(AB=AQ\)：\(|q-1|=\sqrt{10}\) → \(q=1\pm\sqrt{10}\)

\(AB=BQ\)：\(\sqrt{q^2+9}=\sqrt{10}\) → \(q=\pm 1\)，\(q=1\) 时 \(Q=A\) 舍去，得 \(Q(-1,0)\)

\(AQ=BQ\)：\(|q-1|=\sqrt{q^2+9}\) → \(q=-4\)，\(Q(-4,0)\)

变式 2（改变动点位置）：

将第(2)问中 \(P\) 改为在 \(x\) 轴负半轴上（\(t < -1\)），其余条件不变。求 \(S\) 关于 \(t\) 的函数解析式。

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当 \(t < -1\) 时，\(P\) 在 \(A\) 的左侧。\(AP = (-1) - t = -t - 1\)（正值）。\(S = \frac{1}{2} \times (-t-1) \times 2 = -t - 1\)（因为 \(t < -1\)，\(-t-1 > 0\)）。结合原题，\(S = |t + 1|\)。

变式 3（改变"等腰"为"直角"）：

在 \(x\) 轴上是否存在点 \(Q\)，使 \(\triangle ABQ\) 是直角三角形？若存在，求出 \(Q\) 的坐标。

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三种直角情况：

• \(\angle A = 90^{\circ}\)：\(AB \perp AQ\)。\(AB\) 斜率 = \(\frac{2-0}{0-(-1)}=2\)，\(AQ\) 斜率 = \(0\)。\(2 \times 0 \neq -1\)，无解。
• \(\angle B = 90^{\circ}\)：\(AB \perp BQ\)。\(AB\) 斜率 = \(2\)，\(BQ\) 斜率 = \(\frac{-2}{q}\)。\(2 \times \frac{-2}{q} = -1\) → \(q = 4\)。\(Q(4,0)\) ✓
• \(\angle Q = 90^{\circ}\)：\(AQ^2 + BQ^2 = AB^2\)。\((q+1)^2 + (q^2+4) = 5\) → 解方程得 \(q = 0\) 或 \(q = -1\)。\(q=0\)：\(Q(0,0)\)，验证 \(AQ^2+BQ^2=1+4=5=AB^2\) ✓。\(q=-1\)：\(Q=A\) 舍去。

两个解：\(Q(4,0)\) 和 \(Q(0,0)\)。

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完成本题后，请认真思考以下问题：

1. 面积函数的"巧合"：本题中 \(S = t + 1\) 恰好是一次函数。如果 \(l_1\) 的 \(y\) 截距变成 \(4\)（即 \(B(0,4)\)），面积函数会变成什么？它还会是一次函数吗？
2. 等腰条件的"穷举"vs"直觉"：在四种有效解中，\(Q_3(1, 0)\) 和 \(Q_4(\frac{3}{2}, 0)\) 都在 \(x\) 轴正半轴，位置非常接近。如果仅凭画图"直觉判断"，你可能漏掉哪一个？
3. 退化解的边界：本题中 \(q = -1\) 时 \(Q = A\) 被舍去。如果题目改为"求使 \(AQ = AB\) 的点"，这个退化解还要不要舍？"等腰三角形"和"线段相等"的结论有什么区别？
4. 一次函数综合题的通用模式：回顾本题的结构——先求点坐标→再建函数关系→最后分类探究。这种"三步走"的模式在近年中考第24题（函数综合）中频频出现。你能总结出每一步通用的"破题技巧"吗？

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本题设计围绕"一次函数与几何综合"这一八年级核心模块，融合了垂直条件、坐标系中面积建模、以及等腰三角形的完整分类讨论。2027命题趋势强调"综合与实践"和"分类讨论"，一次函数与几何的交汇正是检验八年级学生综合建模能力的理想载体。

设计理念：

• 第(1)问设置双线垂直的基础计算——入口低，绝大部分学生能完成，建立解题信心。
• 第(2)问利用 \(A\) 和 \(P\) 同在 \(x\) 轴上的便利，面积函数极其简洁（\(S = t+1\)），让学生体会"选对底和高"的重要性——不需要复杂公式。
• 第(3)问等腰穷举是区分度核心——四种情况逐一列方程、求解、排除退化，既考代数基本功也考分类的完整性。其中 \(AQ=BQ\) 的方程平方后二次项抵消（变为一次），和 \(AB=BQ\) 得出精彩整数解，给学生"柳暗花明"的解题体验。
• 三问梯度：定位(3分) → 建模(3分) → 探究(5分)，入口宽出口窄。

趋势契合度：

• 一次函数 + 几何综合 = 第24题类核心方向
• 等腰分类讨论 = "去套路化"——三种情况逐一排查，不提前提示"哪种可能成立"
• 面积选底技巧 = 考查灵活运用所学的能力
• 难度配比：基础≈6分(55%) + 中档≈3分(27%) + 拔高≈2分(18%)

考纲对应：一次函数 ✓ / 垂直条件 ✓ / 两点距离公式 ✓ / 等腰三角形判定 ✓ / 坐标系 ✓ / 分类讨论 ✓

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