上海中考数学压轴题专项练习

已知条件：

\[ \begin{aligned} &\triangle ABC\text{ 中：} \angle C = 90^{\circ},\quad AC = 6,\quad BC = 8 \\[4pt] &\text{由勾股定理：} AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \\[4pt] &\text{点 }P\text{ 速度：} v = 2 \text{ 单位/秒} \\[4pt] &\text{路径：} A \to C \text{（距离 }6\text{）} \to B \text{（距离 }8\text{），总路程 } = 14 \end{aligned} \]

以 \(C\) 为原点建立坐标系：

\[ C(0,0),\qquad A(0,6),\qquad B(8,0) \]

时间节点：

\[ t_1 = \frac{AC}{v} = \frac{6}{2} = 3\text{ 秒（到达 }C\text{）},\qquad t_{\text{止}} = \frac{14}{2} = 7\text{ 秒（到达 }B\text{）} \]

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拿到这道题，先问自己三个问题：

1. 动点问题先做什么？ 先"定路标"——确定动点经过哪些关键节点（\(A \to C\) 需要多长时间？\(C \to B\) 需要多长时间？），把运动路径切成若干段。每一段上，动点的坐标表达式不同，面积函数也不同。这就是"分段"的来源。
2. 面积怎么求最方便？ 有了坐标系，三角形面积 = \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)。观察 \(\triangle ABP\)：当 \(P\) 在某条水平或竖直线上时，可以选择最方便的底和高。比如 \(P\) 在 \(CB\)（水平线）上时，\(AC\) 恰好是 \(\triangle ABP\) 的高——直接套公式，不需要复杂的坐标面积公式。
3. 等腰三角形怎么分类？ 等腰 = 有两边相等，但哪两边？三种情况必须逐一检查：

• \(AP = BP\)
• \(AP = AB\)
• \(BP = AB\)

每种情况列方程→求解→检验解是否在该段的定义域内（这一步最容易漏！）。

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基础题 1： 在 \({\rm Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)。求斜边 \(AB\) 的长。

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由勾股定理：\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)。

基础题 2： 点 \(M\) 从 \((0,6)\) 出发，以每秒 \(2\) 单位的速度沿 \(y\) 轴向原点运动。写出 \(t\) 秒后点 \(M\) 的坐标及 \(M\) 到原点的距离。

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\(M\) 沿 \(y\) 轴向下运动，\(t\) 秒后 \(M(0, 6-2t)\)。到原点的距离 = \(|6-2t|\)。

当 \(0 \le t \le 3\) 时，距离 = \(6-2t\)；当 \(t > 3\) 时 \(M\) 已过原点（但本题 \(t \le 7\)）。

基础题 3： 已知 \(A(0,6)\)，\(B(8,0)\)，\(P(2t-6, 0)\)。用含 \(t\) 的代数式表示线段 \(BP\) 的长度和 \(\triangle ABP\) 的面积（以 \(BP\) 为底）。

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\(BP = |8 - (2t-6)| = |14 - 2t|\)。

以 \(BP\) 为底，点 \(A\) 到 \(x\) 轴的距离（即 \(AC = 6\)）为高：

\(S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times BP \times 6 = 3|14-2t|\)。

基础题 4： 解方程 \(4t^2 - 24t + 72 = (14-2t)^2\)。

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左边展开：\(4t^2 - 24t + 72\)。

右边展开：\(196 - 56t + 4t^2\)。

两边消去 \(4t^2\)：

\(-24t + 72 = 196 - 56t\)

\(32t = 124\)

\(t = \dfrac{124}{32} = \dfrac{31}{8}\)。

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第一层（面对题目不知从何入手）：

这道题的核心是"动点位置用时间 \(t\) 表达"。先把坐标系建好（建议以 \(C\) 为原点），然后把运动分成两段：\(P\) 在 \(AC\) 上（\(0 \le t \le 3\)）和 \(P\) 在 \(CB\) 上（\(3 < t \le 7\)）。每段上 \(P\) 的坐标不同，写出坐标后所有问题都迎刃而解。

第二层（第(2)问有困难——不会分段写面积函数）：

面积 = \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)。当 \(P\) 在 \(AC\) 上时，\(\triangle ABP\) 的底和高怎么选？试试用整个 \(\triangle ABC\) 的面积减去 \(\triangle PBC\) 的面积（割补法）。当 \(P\) 在 \(CB\) 上时更方便：以 \(BP\) 为底，\(AC\) 正好是高（因为 \(AC \perp CB\)）。

第三层（第(3)问有困难——等腰条件不会列方程）：

等腰三角形有三组"可能相等的边对"：\(AP=BP\)、\(AP=AB\)、\(BP=AB\)。先写出 \(AP\)、\(BP\) 的长度表达式（用坐标距离公式或几何关系），然后逐组列方程求解。每解出一个 \(t\)，必须检验它是否在对应的分段区间内——不在区间内的解要舍去。

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(1) 写出 \(t\) 的取值范围，并用含 \(t\) 的代数式表示 \(CP\) 的长度

以 \(C\) 为原点建立直角坐标系：\(C(0,0)\)，\(A(0,6)\)，\(B(8,0)\)。

路程分析：

\(A \to C\) 距离 \(= 6\)，用时 \(\dfrac{6}{2} = 3\) 秒；

\(C \to B\) 距离 \(= 8\)，用时 \(\dfrac{8}{2} = 4\) 秒。

\[ \boxed{0 \le t \le 7} \]

分段讨论 \(CP\)：

• 当 \(0 \le t \le 3\)（\(P\) 在 \(AC\) 上）：

\(P\) 从 \(A(0,6)\) 向 \(C(0,0)\) 运动，\(t\) 秒走了 \(2t\)。

\[ P(0,\; 6-2t),\qquad CP = 6 - 2t \]

• 当 \(3 < t \le 7\)（\(P\) 在 \(CB\) 上）：

\(t = 3\) 时 \(P\) 到达 \(C(0,0)\)，之后沿 \(x\) 轴向 \(B(8,0)\) 运动。

从 \(C\) 出发经过了 \(t-3\) 秒，走了 \(2(t-3)\)。

\[ P(2t-6,\; 0),\qquad CP = 2t - 6 \]

\[ \boxed{CP = \begin{cases} 6 - 2t, & 0 \le t \le 3 \\[4pt] 2t - 6, & 3 < t \le 7 \end{cases}} \]

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(2) 求 \(S\) 关于 \(t\) 的函数解析式，并求 \(S=12\) 时 \(t\) 的值

当 \(0 \le t \le 3\)（\(P\) 在 \(AC\) 上），用割补法：

\[ S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle PBC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 - \frac{1}{2} \times 8 \times CP = 24 - 4 \times (6-2t) = 24 - 24 + 8t = 8t \]

当 \(3 < t \le 7\)（\(P\) 在 \(CB\) 上），以 \(BP\) 为底、\(AC\) 为高：

\[ BP = 8 - (2t-6) = 14 - 2t \]

\[ S = \frac{1}{2} \times BP \times AC = \frac{1}{2} \times (14-2t) \times 6 = 3(14-2t) = 42 - 6t \]

\[ \boxed{S = \begin{cases} 8t, & 0 \le t \le 3 \\[4pt] 42 - 6t, & 3 < t \le 7 \end{cases}} \]

验证：\(t = 3\) 时，\(S = 8 \times 3 = 24\) 且 \(S = 42 - 6 \times 3 = 24\)，分段函数在衔接点连续 ✓

求 \(S = 12\)：

• 在 第一段 \(0 \le t \le 3\)：\(8t = 12 \;\Longrightarrow\; t = 1.5\)（在区间内 ✓）
• 在 第二段 \(3 < t \le 7\)：\(42 - 6t = 12 \;\Longrightarrow\; 6t = 30 \;\Longrightarrow\; t = 5\)（在区间内 ✓）

\[ \boxed{t = 1.5 \;\text{或}\; t = 5} \]

两个解对应两次经过"面积为 12"的位置：第一次 \(P\) 在 \(AC\) 上（距 \(A\) 下方 3 单位处），第二次 \(P\) 在 \(CB\) 上（距 \(C\) 右侧 4 单位处）。

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(3) \(\triangle ABP\) 能否成为等腰三角形？

\(\triangle ABP\) 的三边：\(AB = 10\)（定值），\(AP\) 和 \(BP\) 随 \(t\) 变化。

第一段：\(0 \le t \le 3\)，\(P(0, 6-2t)\)

\[ AP = 2t,\qquad BP = \sqrt{8^2 + (6-2t)^2} = \sqrt{64 + (2t-6)^2} \]

三种情况逐一检查：

• 若 \(AP = AB\)：\(2t = 10 \;\Longrightarrow\; t = 5\)。\(5 \notin [0, 3]\)，舍去。
• 若 \(BP = AB\)：\(\sqrt{64 + (2t-6)^2} = 10 \;\Longrightarrow\; (2t-6)^2 = 36 \;\Longrightarrow\; 2t-6 = \pm 6\)
• \(2t-6 = 6 \;\Longrightarrow\; t = 6 \notin [0,3]\)，舍去
• \(2t-6 = -6 \;\Longrightarrow\; t = 0\)（此时 \(P=A\)，三角形退化），舍去
• 若 \(AP = BP\)：\(2t = \sqrt{64 + (2t-6)^2} \;\Longrightarrow\; 4t^2 = 64 + 4t^2 - 24t + 36 \;\Longrightarrow\; 24t = 100 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{25}{6} \approx 4.17 \notin [0,3]\)，舍去。

第一段无解。

第二段：\(3 < t \le 7\)，\(P(2t-6, 0)\)

\[ \begin{aligned} AP &= \sqrt{(2t-6)^2 + 6^2} = \sqrt{4t^2 - 24t + 72} \\[4pt] BP &= 8 - (2t-6) = 14 - 2t \\[4pt] AB &= 10 \end{aligned} \]

三种情况逐一检查：

• 若 \(AP = AB\)：

\[ \sqrt{4t^2 - 24t + 72} = 10 \;\Longrightarrow\; 4t^2 - 24t + 72 = 100 \]

\[ 4t^2 - 24t - 28 = 0 \;\Longrightarrow\; t^2 - 6t - 7 = 0 \;\Longrightarrow\; (t-7)(t+1) = 0 \]

\(t = 7\)（\(P = B\)，三角形退化）或 \(t = -1 \notin (3,7]\)，舍去。

• 若 \(BP = AB\)：

\[ 14 - 2t = 10 \;\Longrightarrow\; t = 2 \notin (3,7]，\textbf{舍去}。 \]

• 若 \(AP = BP\)：

\[ \sqrt{4t^2 - 24t + 72} = 14 - 2t \]

两边平方（注意 \(14-2t > 0\)，即 \(t < 7\)，在第二段内满足）：

\[ 4t^2 - 24t + 72 = 196 - 56t + 4t^2 \]

\[ -24t + 72 = 196 - 56t \;\Longrightarrow\; 32t = 124 \;\Longrightarrow\; t = \frac{31}{8} \]

验证：\(\dfrac{31}{8} = 3.875 \in (3, 7]\) ✓

此时 \(AP = BP = 14 - 2 \times \dfrac{31}{8} = \dfrac{25}{4}\)。

\[ \boxed{t = \frac{31}{8}} \]

总结：在运动全程中，\(\triangle ABP\) 恰好在 一个时刻 成为等腰三角形——\(t = \dfrac{31}{8}\) 秒，此时 \(P\) 在 \(CB\) 上距 \(C\) 为 \(\dfrac{7}{4}\) 处，\(AP = BP = \dfrac{25}{4}\)。

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易错点	正确理解
忘记分段，企图用一个式子表达全程	动点在不同线段上坐标表达式不同，必须先按路径节点分段（\(t=3\) 是分界点）
第(2)问面积函数写完后不验证连续性	\(t=3\) 时两段表达式应给出相同结果（都是 24），若不相等说明某段表达式有误
第(3)问只检查了一种"两边相等"的情况	等腰条件有三种可能：\(AP=BP\)、\(AP=AB\)、\(BP=AB\)，必须逐一排查
解出 \(t\) 后不检验是否在定义域内	每解出一个 \(t\)，必须对照该段区间验证。如 \(t=5\) 出现在 \(AP=AB\) 的方程中，但它在第一段（\(t \le 3\)），必须舍去
平方运算前不检查两边是否非负	方程 \(\sqrt{A} = B\) 平方前需确认 \(B \ge 0\)（本题中 \(14-2t > 0\) 即 \(t < 7\) 满足）
把退化解当作有效解	\(t=0\)（\(P=A\)）和 \(t=7\)（\(P=B\)）时三角形面积为 0，即使满足"两边相等"也应排除
混淆了 \(CP\) 和 \(BP\) 的长度	第二段 \(P\) 在 \(CB\) 上，\(CP = 2t-6\)（从 \(C\) 起算），但 \(BP = 8 - (2t-6) = 14-2t\)（从 \(B\) 起算）

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1. 动点问题的"定路标→分段→写坐标"流程：先算出路程和关键时间节点（\(t=3\) 到达 \(C\)，\(t=7\) 到达 \(B\)），再分段写坐标表达式——这是所有动点题的通用方法。
2. 坐标系中选"最佳底和高"求面积：不需要强行套用坐标面积公式。观察三角形的边与坐标轴的关系——本题中 \(AC \perp CB\)（坐标轴方向），直接以水平/竖直边为底，另一条为高，计算量极小。
3. 分段函数的建立与连续性检验：两段表达式在衔接点（\(t=3\)）的值相等，否则说明公式有误。这个检验习惯能帮你发现大部分计算错误。
4. 等腰三角形的完整分类讨论：不是"看起来哪两边可能相等"就只查那一种——三种组合必须逐一检验，且每个解都要通过定义域验证。这体现了数学推理的严谨性。
5. 一元二次方程的化简技巧：本題中 \(4t^2\) 在两边同时出现，相消后变成一元一次方程——注意观察方程结构，避免不必要的复杂计算。

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变式 1（改变速度）：

若点 \(P\) 的速度变为每秒 \(3\) 个单位，其余条件不变，重新求 \(t\) 的取值范围和 \(S\) 关于 \(t\) 的函数解析式。

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\(A \to C\)：\(\frac{6}{3} = 2\) 秒，\(C \to B\)：\(\frac{8}{3} \approx 2.67\) 秒，总时间 \(= \frac{14}{3} \approx 4.67\) 秒。

第一段 \(0 \le t \le 2\)：\(P(0, 6-3t)\)，\(S = 24 - 4(6-3t) = 12t\)。

第二段 \(2 < t \le \frac{14}{3}\)：\(P(3t-6, 0)\)，\(BP = 14 - 3t\)，\(S = 3(14-3t) = 42 - 9t\)。

变式 2（改变路径方向）：

若点 \(P\) 从 \(B\) 出发，沿 \(B \to C \to A\) 以每秒 \(2\) 单位运动到 \(A\) 停止，其余条件不变。求 \(S\) 关于 \(t\) 的函数解析式。

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路径对称：第一段 \(0 \le t \le 4\)（\(P\) 在 \(BC\) 上）：\(P(8-2t, 0)\)，\(S = 3 \times 2t = 6t\)。

第二段 \(4 < t \le 7\)（\(P\) 在 \(CA\) 上）：\(P(0, 2t-8)\)，\(S = 4(2t-8) = 8t - 32\)。

在 \(t=4\) 处 \(6 \times 4 = 24\) 且 \(8 \times 4 - 32 = 0\)——不连续！原因：\(t=4\) 时 \(P\) 在 \(C\)，第一段用 \(BP\) 为底（\(BP=8-8=0\)，面积应为 0），修正第一段 \(S = 24 - 6t\)。在分段点需重新检查几何意义。

变式 3（改变等腰条件）：

在原题条件下，是否存在 \(t\) 使 \(\triangle ABP\) 是直角三角形？若存在，求出所有 \(t\) 值。

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\(\triangle ABP\) 中 \(\angle A、\angle B、\angle APB\) 哪个可以是直角？

• \(\angle A = 90^{\circ}\)：需 \(AP \perp AB\)。\(AB\) 斜率 \(= \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}\)，垂直斜率 \(= \frac{4}{3}\)。当 \(P\) 在 \(AC\) 上（\(x=0\)）时 \(AP\) 竖直，不可能与 \(AB\) 成直角。当 \(P\) 在 \(CB\) 上（\(y=0\)）时 \(AP\) 斜率 \(= \frac{-6}{2t-6}\)，设 \(\frac{-6}{2t-6} = \frac{4}{3}\) 得 \(t = \frac{3}{4} \notin (3,7]\)，舍去。
• \(\angle B = 90^{\circ}\)：需 \(BP \perp AB\)。\(BP\) 是水平线（\(P\) 在 \(CB\) 上 \(y=0\)），斜率为 0，不垂直于斜率为 \(-\frac{3}{4}\) 的 \(AB\)。当 \(P\) 在 \(AC\) 上时 \(BP\) 不水平，设 \(BP\) 斜率 \(= \frac{-(6-2t)}{8} = \frac{4}{3}\)，得 \(t = \frac{25}{6} \approx 4.17 \notin [0,3]\)，舍去。
• \(\angle APB = 90^{\circ}\)（最常见）：用勾股定理逆定理——\(AP^2 + BP^2 = AB^2\)。在第一段：无解。在第二段：解得 \(t = \frac{11}{4} = 2.75 \notin (3,7]\)，舍去。

实际上，当 \(P\) 在 \(AC\) 上时 \(AP\) 竖直、\(BP\) 斜向，角度关系需要逐一排查。最终结论：在运动全程中 \(\triangle ABP\) 不能成为直角三角形。

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完成本题后，请认真思考以下问题：

1. 动点问题的"分段"逻辑：本题按 \(t=3\) 分成两段。如果路径变成 \(A \to C \to B \to A\)（回到起点），会分成几段？每一段上面积函数的形式会发生什么变化？
2. 等腰分类为什么不漏：三种情况（\(AP=BP\)、\(AP=AB\)、\(BP=AB\)）中，有的"一看就知道不可能"——但你敢直接跳过不检查吗？在考试中，"直觉排除"的风险是什么？
3. 面积函数的两种求法：第一段用了"大三角形减小三角形"（割补法），第二段用了"直接以水平边为底"。两种方法的选择依据是什么？如果坐标系建得不同（比如以 \(A\) 为原点），哪种求法更方便？
4. 从等腰到一般：第(3)问求的是等腰条件。如果把问题改成"求使 \(\triangle ABP\) 周长最小的 \(t\) 值"或"求使 \(AP + BP = 12\) 的 \(t\) 值"，解题思路会发生什么变化？这提示了动点题中"条件→方程"的通用转化模式是什么？

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本题设计围绕"动点路径 + 分段函数 + 等腰存在性"这一八年级下期末考试的典型压轴模式。2027命题趋势强调"综合与实践"和"分类讨论能力"，动点题正是检验学生在变化中建立数学模型、分段处理、完整分类的核心题型。

设计理念：

• 第(1)问设置"路径分段+坐标表示"双重要求——动点题的入口永远是把位置用 \(t\) 表达清楚。入口低，基础较弱的学生也能完成。
• 第(2)问要求分段建立面积函数——两段用了不同的求面积策略（割补法 vs 底×高），训练学生根据几何特征灵活选择方法的能力。中档区分度。
• 第(3)问等腰存在性——六种情况（两段各三种）需逐一排查，但大部分"自然"被方程排除或定义域过滤，最终只有一个有效解。这体现了"分类完整≠答案很多"的数学之美。拔高区分度。
• 三问梯度清晰：定位(2分) → 建模(3分) → 探究(3分)，入口宽出口窄。

趋势契合度：

• 动点+分段函数 = 第24/25题类核心方向，考查动态建模能力
• 等腰分类讨论 = "去套路化"——不提示"哪种情况可能成立"，学生需自己穷举
• 解法多元：割补法、底×高法、坐标距离公式，不同路径可互验
• 难度配比：基础≈6分(60%) + 中档≈3分(30%) + 拔高≈1.5分(10%)

考纲对应：勾股定理 ✓ / 一元二次方程 ✓ / 一次函数/分段函数 ✓ / 坐标系 ✓ / 等腰三角形判定 ✓ / 动点问题 ✓

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