定义"和谐三角形"：若一个三角形的三条边长恰为三个连续整数，则称该三角形为"和谐三角形"。
下列说法：
① 边长为 3、4、5 的三角形是"和谐三角形"
② 所有"和谐三角形"都是直角三角形
③ 存在面积为整数的"和谐三角形"
④ 存在周长为 15 的"和谐三角形"
其中正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
如图，矩形 \(ABCD\) 中，\(AB = 3\)，\(BC = 4\)。将 \(\triangle ABC\) 沿对角线 \(AC\) 折叠，点 \(B\) 落在点 \(B'\) 处。
下列结论：
① \(AB' = 3\)
② \(\angle B'AC = \angle BAC\)
③ 点 \(B'\) 在矩形外部
④ \(B'D = 4\)
其中正确的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = AC = 5\)，\(\triangle ABC\) 的面积为 \(12\)。则 \(BC\) 的长为 \_\_\_\_\_\_。
提示：本题有多个解，全部写出。
在平面直角坐标系中，对点 \(P(x, y)\)，定义其"伴随点" \(\widetilde{P}\)：
\[ \widetilde{P} = (x + y,\; x - y) \]
已知点 \(A(m,\; 2m - 1)\) 的伴随点 \(\widetilde{A}\) 在坐标轴上，则 \(m\) 的值为 \_\_\_\_\_\_。
提示：坐标轴包括 \(x\) 轴和 \(y\) 轴两种情况。
答案：C（3个正确：①③④）
| 说法 | 判断 | 关键思路 |
|---|---|---|
| ① 3-4-5 是连续整数 | ✓ | 定义直接验证 |
| ② 所有和谐△都是直角三角形 | ✗ | 举反例：2-3-4，\(2^2+3^2=13 \neq 16\) |
| ③ 存在面积为整数的和谐△ | ✓ | 举正例：3-4-5，面积 = 6 |
| ④ 存在周长为15的和谐△ | ✓ | 周长 = 3n = 15 → n = 5 → 4-5-6，满足三边关系 |
思路：新定义题的关键是"举反例"——排除②只需一个反例2-3-4；确认③④只需各找一个正例。
答案：C（3个正确：①②③）
折叠即轴对称，\(AC\) 为对称轴，\(\triangle AB'C \cong \triangle ABC\)。
| 结论 | 判断 | 关键思路 |
|---|---|---|
| ① \(AB'=3\) | ✓ | 折叠保距：\(AB' = AB = 3\) |
| ② \(\angle B'AC = \angle BAC\) | ✓ | 折叠保角 |
| ③ \(B'\) 在矩形外部 | ✓ | \(B'(3,0)\) 关于 \(AC:y=\frac{4}{3}x\) 对称后横坐标为负 |
| ④ \(B'D = 4\) | ✗ | 精确计算 \(B'\left(-\frac{21}{25},\frac{72}{25}\right)\)，\(B'D = \frac{7}{5} \neq 4\) |
思路：①②直接来自折叠性质；③靠想象或简算——\(B\) 在 \(AC\) 下方，折叠后必然翻到 \(AC\) 上方且更靠左；④可后算排除。
答案：\(BC = 6\) 或 \(BC = 8\)
思路：等腰三角形 → 底边一半为 \(x\)，高 = \(\sqrt{25-x^2}\)。
面积方程：\(x\sqrt{25-x^2} = 12\)，平方得 \(x^4 - 25x^2 + 144 = 0\)。
因式分解：\((x^2-9)(x^2-16)=0\)，得 \(x=3\) 或 \(x=4\)。
故 \(BC=2x=6\) 或 \(8\)。两解均满足 \(x < 5\)（高为正）。
思路：等腰三角形 + 面积 → 自然想到底边一半+高+勾股的联系。方程化为关于 \(x^2\) 的二次方程是本题唯一计算点。
答案：\(m = 1\) 或 \(m = \dfrac{1}{3}\)
思路：先算伴随点 \(\widetilde{A} = (3m-1,\; -m+1)\)。
"在坐标轴上" = 横坐标为0 或 纵坐标为0，两种情况互不重叠：
思路：新定义题先代入算出坐标，再根据"坐标轴"隐含的分类讨论写出两个方程，每个方程一步即解。