核心理念：用压轴题训练思维，用基础题夯实能力
动点引发相似三角形的分类讨论
本题以直角三角形为载体，通过动点在边上运动，构造平行线形成相似三角形，考查相似三角形的判定、对应边的比例关系和分类讨论思想。核心考点为"相似三角形对应关系的不确定性导致的多种情形"。
第(1)问利用平行线+相似即可完成（基础）；第(2)问代数值计算（中档）；第(3)问需要分类讨论相似对应关系（压轴）。整体入口低、出口高。
如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B = 90^\circ\)，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)，\(AC = 10\)。
点 \(P\) 从点 \(B\) 出发，沿 \(BC\) 向点 \(C\) 运动，设 \(BP = x\)（\(0 < x < 8\)）。过点 \(P\) 作 \(PQ \parallel AB\)，交 \(AC\) 于点 \(Q\)。
（1）用含 \(x\) 的代数式表示线段 \(PQ\) 和 \(CQ\) 的长度；（3分）
（2）当 \(PQ = 3\) 时，求 \(x\) 的值；（3分）
（3）在 \(AB\) 上取一点 \(R\)，使 \(AR = 2\)，连接 \(PR\)。是否存在 \(x\) 的值，使得 \(\triangle PBR \sim \triangle ABC\)？若存在，求出所有满足条件的 \(x\) 的值；若不存在，请说明理由。（6分）
\[\triangle ABC, \quad \angle B = 90^\circ\]
\[AB = 6,\quad BC = 8,\quad AC = 10 \quad (\text{勾股验证}: 6^2 + 8^2 = 10^2)\]
动点条件：\(P\) 在 \(BC\) 上，\(BP = x\)，\(0 < x < 8\)。
平行条件：\(PQ \parallel AB\)，\(Q\) 在 \(AC\) 上。
关键相似（由 \(PQ \parallel AB\)）：
\[\triangle CPQ \sim \triangle CBA \quad (\text{AA}: \angle C \text{公共}, \angle CQP = \angle CAB)\]
\[\frac{PQ}{AB} = \frac{CQ}{AC} = \frac{CP}{CB} = \frac{8-x}{8}\]
第(3)问补充：\(R\) 在 \(AB\) 上，\(AR = 2\)，\(\therefore BR = 4\)。
\[PQ \parallel AB \rightarrow \text{相似} \rightarrow \text{比例式} \rightarrow (1) PQ, CQ\]
\[(1) \text{的表达式} \rightarrow (2) \text{代入求值}\]
\[\triangle PBR \text{与} \triangle ABC \rightarrow \angle B\text{共用} \rightarrow \text{两种对应关系} \rightarrow (3) \text{分类讨论}\]
在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 在 \(BC\) 上，\(BD = 3\)，\(DC = 5\)。\(DE \parallel AB\)，\(E\) 在 \(AC\) 上。\(AB = 8\)，求 \(DE\)。
简答：\(DE \parallel AB \Rightarrow \triangle CDE \sim \triangle CBA\)。\(DE/AB = CD/CB = 5/8\)。\(\therefore DE = 5\)。
\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle A = \angle D = 40^\circ\)，\(\angle B = \angle E = 60^\circ\)。\(AB=6, DE=3, BC=8\)，求 \(EF\)。
简答：\(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)（AA）。\(AB/DE = BC/EF \Rightarrow 6/3 = 8/EF \Rightarrow EF = 4\)。
\(\triangle ABC\) 中 \(\angle B = 90^\circ, AB = 3, BC = 4\)。\(P\) 在 \(BC\) 上 \(BP = 2\)，\(R\) 在 \(AB\) 上 \(AR = 1\)。判断 \(\triangle PBR\) 能否与 \(\triangle ABC\) 相似。
简答：\(BR = 2\)。情况①：\(BP/BA = 2/3 \neq BR/BC = 2/4\)。情况②：\(BP/BC = 2/4 = 1/2 \neq BR/BA = 2/3\)。不相似。
看到 \(PQ \parallel AB\)，你能想到什么？平行线在三角形中会产生相似三角形。找到相似三角形后，把对应边的比例关系写出来。
\(\triangle PBR\) 和 \(\triangle ABC\) 都是直角三角形（\(\angle B = 90^\circ\)），所以 \(\angle B\) 一定是它们的对应角。但剩下的两个顶点可以有两种对应方式：要么 \(P \leftrightarrow A, R \leftrightarrow C\)，要么 \(P \leftrightarrow C, R \leftrightarrow A\)。
关系①：\(\frac{BP}{BA} = \frac{BR}{BC} \rightarrow \frac{x}{6} = \frac{4}{8}\)，\(x = 3\)。
关系②：\(\frac{BP}{BC} = \frac{BR}{BA} \rightarrow \frac{x}{8} = \frac{4}{6}\)，\(x = \frac{16}{3}\)。
验证两个解是否都在 \(0 < x < 8\) 范围内。
\(PQ \parallel AB\)，\(\therefore \triangle PQC \sim \triangle ABC\)（AA：\(\angle C\) 公共，\(\angle PQC = \angle BAC\)）。
\(\frac{PQ}{AB} = \frac{CQ}{AC} = \frac{CP}{CB}\)，其中 \(CP = 8 - x\)。
\[\frac{PQ}{6} = \frac{8-x}{8} \Rightarrow PQ = 6 \times \frac{8-x}{8} = \frac{3}{4}(8-x) = 6 - \frac{3}{4}x\]
\[\frac{CQ}{10} = \frac{8-x}{8} \Rightarrow CQ = 10 \times \frac{8-x}{8} = \frac{5}{4}(8-x) = 10 - \frac{5}{4}x\]
\(\boxed{PQ = 6 - \dfrac{3}{4}x,\quad CQ = 10 - \dfrac{5}{4}x,\quad 0 < x < 8}\)
由(1)：\(PQ = 6 - \frac{3}{4}x = 3\)
\(\frac{3}{4}x = 3 \Rightarrow x = 4\)
检验：\(x = 4 \in (0, 8)\) ✓。此时 \(P\) 为 \(BC\) 的中点。
\(\boxed{x = 4}\)
\(R\) 在 \(AB\) 上，\(AR = 2\)，\(\therefore BR = AB - AR = 6 - 2 = 4\)。
\(\triangle PBR\)：\(\angle PBR = \angle B = 90^\circ\)，\(BP = x\)，\(BR = 4\)。
\(\triangle ABC\)：\(\angle B = 90^\circ\)，\(BA = 6\)，\(BC = 8\)。
两三角形均有直角在 \(B\)，故 \(B \leftrightarrow B\) 是对应顶点。剩余顶点有两种对应关系。
情况①：\(P \leftrightarrow A,\; R \leftrightarrow C\)
\(\triangle PBR \sim \triangle ABC\)，对应边：\(\frac{BP}{BA} = \frac{BR}{BC}\)
\(\frac{x}{6} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3\)
检验：\(x = 3 \in (0, 8)\) ✓
情况②：\(P \leftrightarrow C,\; R \leftrightarrow A\)
\(\triangle PBR \sim \triangle CBA\)，对应边：\(\frac{BP}{BC} = \frac{BR}{BA}\)
\(\frac{x}{8} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{16}{3}\)
检验：\(x = \frac{16}{3} \approx 5.33 \in (0, 8)\) ✓
\(\boxed{x = 3 \;\text{或}\; x = \dfrac{16}{3}}\)
验证：\(x=3\)时，\(BP/BA=3/6=1/2=BR/BC=4/8=1/2\) ✓
\(x=16/3\)时，\(BP/BC=(16/3)/8=2/3=BR/BA=4/6=2/3\) ✓
❌ 认为 \(P \leftrightarrow A\) 一定成立，只列出 \(\frac{x}{6} = \frac{4}{8}\)，遗漏第二种可能。
✅ 两个直角三角形共享直角，\(B \leftrightarrow B\) 确定，但 \(P\) 可以对应 \(A\)（短直角边对短直角边）也可以对应 \(C\)（短直角边对长直角边）。必须分两种情况讨论，逐个验证。
❌ 把 \(AR = 2\) 当成 \(BR = 2\) 代入计算。
✅ \(R\) 在 \(AB\) 上，\(AB = 6\)，\(AR = 2\)，所以 \(BR = AB - AR = 4\)。
❌ 解出 \(x\) 后直接写答案。
✅ 点 \(P\) 在 \(BC\) 上，\(0 < x < 8\)。两解均在此范围内才成立。超出范围的解必须舍去。
| 能力项 | 训练方式 |
|---|---|
| 平行线判定相似 | 第(1)问 \(PQ \parallel AB \Rightarrow \triangle CPQ \sim \triangle CBA\) |
| 相似对应边比例 | 第(1)问写出 \(PQ/AB = CP/CB\) |
| 代数方程求解 | 第(2)问解 \(6 - \frac{3}{4}x = 3\) |
| 分类讨论思想 | 第(3)问两种对应关系（核心能力） |
| 比例方程建模 | 第(3)问列 \(\frac{x}{6} = \frac{4}{8}\) 与 \(\frac{x}{8} = \frac{4}{6}\) |
| 定义域检验 | 第(3)问验证两解均属于 \((0,8)\) |
将原题第(3)问中"\(AR = 2\)"改为"\(AR = 1\)"（此时 \(BR = 5\)），其余条件不变。
思路：情况①：\(\frac{x}{6} = \frac{5}{8} \Rightarrow x = \frac{15}{4}\)。情况②：\(\frac{x}{8} = \frac{5}{6} \Rightarrow x = \frac{20}{3}\)。均成立。
将 \(\triangle ABC\) 改为等腰直角三角形：\(AB = BC = 6\)，\(\angle B = 90^\circ\)，\(R\) 为 \(AB\) 中点。求 \(x\)。
思路：情况①②给出相同 \(x = 3\)。等腰导致两种对应关系重合——这正是几何的优美之处。
| 步骤 | 分值 | 评分说明 |
|---|---|---|
| (1) 写出PQ表达式 | 2分 | 正确使用相似比例，得 \(PQ = 6 - \frac{3}{4}x\) |
| (1) 写出CQ表达式 | 1分 | 得 \(CQ = 10 - \frac{5}{4}x\) |
| (2) 列方程并求解 | 2分 | 列式1分，解出 \(x=4\) 得1分 |
| (2) 检验范围 | 1分 | 确认 \(x=4 \in (0,8)\) |
| (3) 确定BR=4 | 1分 | \(BR = 6 - 2 = 4\) |
| (3) 分类讨论① | 2分 | 列出比例式并解出 \(x=3\) |
| (3) 分类讨论② | 2分 | 列出比例式并解出 \(x=16/3\) |
| (3) 检验结论 | 1分 | 验证两解均在范围内，完整写出答案 |
第2期"动点问题与相似三角形"与第1期"函数与几何综合——面积最值"形成明确区分：第1期侧重函数建模和代数最值，本期侧重几何推理和分类讨论。
考纲对应：相似判定 ✓ | 比例关系 ✓ | 分类讨论 ✓ | 动点参数化 ✓