函数与几何综合——面积最值问题
二次函数 + 三角形面积 + 最值
★★★★☆
本题设计围绕"函数与几何综合——面积最值"这一上海中考核心命题方向。选择 \(y=-x^2+2x+3\) 这条抛物线，具有 A、B 关于对称轴对称、C 为 y 轴截距等优良性质，使得所有计算结果为有理数，便于学生检验。
设计理念：
趋势契合度：
本题与上海中考近年"函数与几何综合"趋势高度一致——用坐标将几何问题代数化、用函数工具处理几何最值。题目既有一定思维量（建模环节），又有清晰的解题路径（配方法），属于典型的"入口宽、纵深够"的压轴题设计。
考纲对应： 二次函数图像与性质 ✓ / 配方法 ✓ / 坐标与图形 ✓ / 三角形面积公式 ✓ / 函数建模思想 ✓
【自检通过】
已知： 在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，抛物线 \(y=-x^2+2x+3\) 与 \(x\) 轴交于 \(A\)、\(B\) 两点（\(A\) 在 \(B\) 的左侧），与 \(y\) 轴交于点 \(C\)。
(1) 求抛物线的顶点 \(D\) 的坐标及对称轴方程。（3分）【基础运算 / 能力指向：二次函数顶点与对称轴】
(2) 点 \(P\) 为抛物线上位于 \(x\) 轴上方的一个动点，其横坐标为 \(t\)（\(-1 < t < 3\)）。过 \(P\) 作 \(PE \perp x\) 轴，垂足为 \(E\)。
(i) 用含 \(t\) 的代数式表示 \(\triangle PAB\) 的面积 \(S_1\)；（2分）【建模表达 / 能力指向：面积公式的坐标化】
(ii) 当 \(t\) 为何值时，\(S_1\) 取得最大值？求出最大面积及此时点 \(P\) 的坐标。（3分）【函数最值 / 能力指向：配方法求二次函数最值】
(3) 点 \(Q\) 是线段 \(BC\) 上一动点（不与 \(B\)、\(C\) 重合），其横坐标为 \(m\)（\(0 < m < 3\)）。过 \(Q\) 作 \(QF \parallel y\) 轴，交抛物线于 \(F\)。
(i) 用含 \(m\) 的代数式表示线段 \(QF\) 的长度；（2分）【建模表达 / 能力指向：竖直线段长度与二次函数关系】
(ii) 当 \(m\) 为何值时，\(QF\) 最长？求此最大值及此时点 \(Q\) 和点 \(F\) 的坐标。（2分）【函数最值 / 能力指向：二次函数建模求极值】
易错点 1：第(2)问中 PE 的符号处理
P 在 x 轴上方时 PE = y_P = -t²+2t+3 是正的。若 P 在 x 轴下方则 PE = |y_P| = -(y_P)。本题限定 -1 < t < 3，P 始终在 x 轴上方或轴上，故 PE = -t²+2t+3，无需加绝对值。建议：写 PE 时明确写出"∵ P 在 x 轴上方，y_P > 0，"再省略绝对值。
易错点 2：配方时符号错误
\(S_1 = -2t^2 + 4t + 6\) 配方时，提取 -2 后括号内为 \(t^2 - 2t\)。常见错误：提取系数时符号搞错导致顶点坐标算错。验证方法：将 t=1 代回原式验证，\(S_1 = -2 + 4 + 6 = 8\)，与配方法结果一致。
易错点 3：第(3)问 QF 的上减下顺序
QF = y_F - y_Q（F 在抛物线上位置更高），而非 y_Q - y_F。常见错误：搞反顺序得到 m² - 3m，不仅函数解析式错误，最值也会变成最小值而非最大值。判断方法：取 m=1 检验，Q(1,2)、F(1,4)，QF = 4-2 = 2，而 -m²+3m = -1+3 = 2 ✓，m²-3m = 1-3 = -2 ✗。
易错点 4：忘记检验定义域
第(2)问 t=1 在 (-1,3) 内，第(3)问 m=3/2 在 (0,3) 内，恰好都符合。但在变式训练中如果最值点落在定义域外，则最值在区间端点取得。必须养成检验习惯——不能默认最值点一定在定义域内。