函数与几何综合——面积最值问题
二次函数 + 三角形面积 + 最值
★★★★☆
本题设计围绕"函数与几何综合——面积最值"这一上海中考核心命题方向。选择 \(y=-x^2+2x+3\) 这条抛物线，具有 A、B 关于对称轴对称（对称轴 x=1，A(-1,0) 与 B(3,0) 中点为 (1,0)）、C(0,3) 为 y 轴截距等优良性质，使得所有计算结果为有理数，便于学生检验。
| 维度 | 第1期 | 第2期 |
|---|---|---|
| 核心主题 | 函数+几何+面积最值 | 动点+相似三角形+分类讨论 |
| 偏重 | 代数（函数建模、配方法） | 几何（相似判定、比例关系） |
| 关键方法 | 铅垂高法、二次函数顶点 | 平行线→相似→比例式 |
| 压轴特征 | 面积最值（动点+极值） | 分类讨论（相似对应关系） |
| 图形类型 | 坐标系+抛物线 | 直角三角形+动点 |
本题与上海中考近年"函数与几何综合"趋势高度一致——用坐标将几何问题代数化、用函数工具处理几何最值。题目既有一定思维量（建模环节），又有清晰的解题路径（配方法），属于典型的"入口宽、纵深够"的压轴题设计。
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=-x²+2x+3 与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)，与 y 轴交于 C(0,3)。
(1) 求顶点 D 的坐标及对称轴方程。（3分）
(2) P 为抛物线上 x 轴上方动点，横坐标为 t (-1 (i) 用含 t 的代数式表示 S△PAB；（2分） (ii) S△PAB 的最大值及此时 P 的坐标。（3分） (3) Q 是线段 BC 上动点（0 (i) 用含 m 的代数式表示 QF；（2分） (ii) QF 的最大值及此时 Q、F 的坐标。（2分） 答案： (1) D(1,4)，对称轴 x=1 (2)(i) S₁ = -2t²+4t+6 (2)(ii) t=1, S₁_max=8, P(1,4) (3)(i) QF = -m²+3m (3)(ii) m=3/2, QF_max=9/4, Q(3/2,3/2), F(3/2,15/4) 配方法求二次函数最值、坐标平面三角形面积、铅垂高法、竖直线段长度表示、函数建模、定义域检验、坐标系综合运用对应基础能力
易错点