旋转变换与全等/相似综合
图形旋转 + 全等三角形 + 相似证明
★★★★☆
如图，已知正方形 \(ABCD\) 的边长为 \(4\)。点 \(E\) 在边 \(AB\) 上，且 \(AE = 1\)。
将 \(\triangle ADE\) 绕点 \(D\) 顺时针旋转 \(90^{\circ}\)，得到 \(\triangle CDF\)（其中点 \(A\) 的对应点为 \(C\)，点 \(E\) 的对应点为 \(F\)）。
（1）（i）求线段 \(DF\) 和 \(CF\) 的长度；
（ii）求证：\(\triangle ADE \cong \triangle CDF\)。
（2）（i）求证：点 \(B\)、\(C\)、\(F\) 三点共线，并求 \(BF\) 的长度；
（ii）求 \(\triangle BEF\) 的面积。
（3）连接 \(AC\)，交 \(DE\) 于点 \(G\)。求 \(DG : GE\) 的值以及 \(\triangle DGC\) 的面积。
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 混淆旋转前后对应关系：认为 \(A \to F\)、\(E \to C\) | 题目明确：\(\triangle ADE \to \triangle CDF\)，说明 \(A \to C\)，\(D \to D\)（不动），\(E \to F\) |
| 忘记勾股定理的前提：\(\triangle ADE\) 必须是直角三角形 | 正方形中 \(\angle DAE = 90^{\circ}\)，\(\triangle ADE\) 确实是直角三角形 ✓ |
| 求 \(BF\) 时漏掉 \(CF\) 段的长度 | \(BF = BC + CF = 4 + 1 = 5\)（三点共线，需分段加总） |
| 写出直线方程后，求线段比时忘记化简 | \(DG:GE = \frac{4\sqrt{17}}{5} : \frac{\sqrt{17}}{5} = 4:1\)，中间过程可保留根号，最后约分 |
| 混淆旋转顺/逆时针方向 | 顺时针旋转 \(90^{\circ}\) 的坐标变换是 \((x,y) \to (y,-x)\)（逆时针是 \((x,y) \to (-y,x)\)） |
| \(\triangle BEF\) 面积计算中找错底或高 | \(BE\) 是水平的（\(y=4\)），高就是 \(F\) 的纵坐标与 \(4\) 的差 |
| 坐标化时忘记以 \(D\) 为原点 | 旋转中心是 \(D\)，以 \(D\) 为原点能使旋转公式最简单 |